Note: Noen and noe can also be used as nouns, although they're filed here under adjectives.

Noen

Noen means some when used with a plural noun both masculine feminine and pluralneutre.

1. Jeg har noen bøker (en/ei bok)

2.
Before m. and f. Jeg har noen gode venner (en venn)

3.  Du stiller noen vanskelige spørsmål (et spørsmål)

Noen means any before masculine and and feminine countable nouns in the singular, noen can be used in positive and negative questions to mean 'any':
1. 

Vi har ikke noen god tekstbok som hun ikke har sett allerede.

Before nouns in the plural: 'some, any':
Her er noen tegneserier. 'Here are some cartoon strips.'
Vi har ikke noen reine lommertørkelær (<- et lommertørkle) igjen. 'We haven't any clean handkerchiefs left.'
Jeg skal kjøpe noen. 'I'll buy some.'

When noen is not referring to a noun, it means 'somebody' or 'anybody':
Traff du noen? 'Did you meet anyone?'
Det var noen som banket på døren. 'Somebody knocked on the door.'

Noe

In singula and in a question,

1. Jeg har ikke noen bil

2.  Jeg har ikke noen penn

3.  Har du noen epler?

4.  Har du sett noen nøkler?

Noen can mean some when standing on its own referring to masculine, feminine and neutre nouns

1. A: 'Vi har ikke noen frimerker.' C: 'Jeg skal gå og kjøpe noen.'

2.  A: 'Jeg har ikke noen frimerker'.  B: 'Du skal få noen av meg.'

3.  Jeg vil gjerne kjøpe en ny genser.  Jeg så noen i går som jeg likte velidig godt.

Noen  can also mean somebody/ anybody

1.  Det kommer noen (somebody is coming) 

2.  Jeg har ikke snakket med noen i dag.

3.  Jeg skal besøke noen (I'll visit somebody)

4.  Snakket du med noen da du var ute?

Noe

Noe means any in front of neuter nouns in the singular, noe can be used in negative questions to mean 'any':
Jeg kan ikke finne boken noe sted. 'I can't find the book anywhere.'

When noe is not referring to a noun, it means 'something' or 'anything':
Er det noet annet jeg kan gjøre?
Jeg hørte noe.

N.B.

In front of uncountable nouns of any gender, noe denotes an unspecified amount:
Har dere noe hostesaft? 'Do you have any cough mixture?'
Det står noe i kjøleskapet. 'There is some in the fridge.'

Examples

Jeg har ringt, men det er ikke noen hjemme.
Vi har ikke noe grovbrød (et ~ 'brown loaf').
Jeg har ikke noe imot at du røyker.
Først var vi noen dager på Voss.
Er det noe særlig å se i Trondheim?
Jeg hørte noe nede.
Så du noen?
Noen av togene stopper på Finse.
Jeg tør ikke si noe til ham.
Jeg har noen penger her.
Jeg har ikke hørt noe.
Jeg har ikke sett noen.
Dessverre har jeg ikke tjent noen penger i dag.
Hun sa at hun ikke hadde sett noen biler..

1. Jeg har ikke noe eple

2.  Han har ikke noe hus

Noe can also mean something/ anything

1.  Han vet noe (he knows something)

2.  I går så jeg noe merkelig (yesterday I saw something strange)

3.  Jeg vet ikke noe om det (I don't know anything about that)

4.  Jeg har ikke noe å gjøre (I don't have anything to do)

5.  Jeg har ikke noe imot at han drar på ferie alene

In examples 3 - 4 - 5 we can also use ingenting (nothing)

1.  Jeg vet ingenting om det (I know nothing about it)

2.  Jeg vet ingenting om det (I know nothing about it)

3.  Jeg har ingenting imot at han drar på ferie alene

4.  Han sa ingenting (he said nothing)

5.  Jeg vet ingeting, jeg så ingeting, jeg hørte ingenting