Note: Noen and noe can also be used as nouns, although they're filed here under adjectives.

Noen

Before m. and f. countable nouns in the singular, noen can be used in questions and negative questions to mean 'any':
Vi har ikke noen god tekstbok som hun ikke har sett allerede.

Before nouns in the plural: 'some, any':
Her er noen tegneserier. 'Here are some cartoon strips.'
Vi har ikke noen reine lommertørkelær (<- et lommertørkle) igjen. 'We haven't any clean handkerchiefs left.'
Jeg skal kjøpe noen. 'I'll buy some.'

When noen is not referring to a noun, it means 'somebody' or 'anybody':
Traff du noen? 'Did you meet anyone?'
Det var noen som banket på døren. 'Somebody knocked on the door.'

Noe

In front of neuter nouns in the singular, noe can be used in negative questions to mean 'any':
Jeg kan ikke finne boken noe sted. 'I can't find the book anywhere.'

When noe is not referring to a noun, it means 'something' or 'anything':
Er det noet annet jeg kan gjøre?
Jeg hørte noe.

N.B.

In front of uncountable nouns of any gender, noe denotes an unspecified amount:
Har dere noe hostesaft? 'Do you have any cough mixture?'
Det står noe i kjøleskapet. 'There is some in the fridge.'

Examples

Jeg har ringt, men det er ikke noen hjemme.
Vi har ikke noe grovbrød (et ~ 'brown loaf').
Jeg har ikke noe imot at du røyker.
Først var vi noen dager på Voss.
Er det noe særlig å se i Trondheim?
Jeg hørte noe nede.
Så du noen?
Noen av togene stopper på Finse.
Jeg tør ikke si noe til ham.
Jeg har noen penger her.
Jeg har ikke hørt noe.
Jeg har ikke sett noen.
Dessverre har jeg ikke tjent noen penger i dag.
Hun sa at hun ikke hadde sett noen biler.